パズルに挑戦 - 僕の後悔日誌。

結城浩さんの日記に書いてあったパズルにチャレンジしてみる。
[結] 2006年7月 - 結城浩の日記

問題
一辺の長さが1の立方体を平面で切断します。うまく切断すると、断面が正六角形になりますね。鏡像や回転を同一視しないで、別のものとして数えることにしますと、断面が正六角形になる切り方は一通りではありません。
(1) 断面が正六角形になる切り方は何通りあるでしょうか。
(2) その切り方をすべて使って立方体を切り刻んだとき、全部で何個の「かけら」に分解されることになるでしょうか。
(3) どのような形の「かけら」が何個できるか、内訳を簡単に説明してください。
(4) 「かけら」の体積を計算して、その総和が立方体の体積（つまり1）に一致することを示してください。

回答だけまず書くと、

(1)4通り

(2)14個

(3)

(Ⅰ)正方形を底面，それぞれ等しい二等辺三角形を側面とする正四角錐（6個）
(Ⅱ)(i)正三角形を底面，それぞれ等しい直角二等辺三角形を側面とする三角錐、(ii)(i)の底面と等しい正三角形によって作られる正四面体、　の２つをつなげた六面体（8個）

(4)

かけら(Ⅰ)… $\frac{1}{12}$ ×6個＝ $\frac{1}{2}$
かけら(Ⅱ)… $\frac{1}{16}$ ×8個＝ $\frac{1}{2}$
合計：1。

以下、もう少し詳しく。

(1)

切り口は立方体のすべての面(6面)を通る。
一つの正方形面において、切り口が通る線は１本だけ、
そしてそれはかならず正方形における隣り合う辺の中点を結んだものになる。
…となるとその線は一つの正方形について4つ引けるので、4通りということに。

(2)

上記の切り口4通りはすべて立方体の中心を通る。
すると切り分けは結局その中心からすべての辺の中点に引いた線によって作られる。
そうしてできる図形を考えると、立方体の面の中心方向に6個の正四角錐、角の方向に8個の六面体がでてくる。
詳しい形は回答(3)で書いた通りに。

(4)

それぞれのかけらの体積の計算は以下の通り。

かけら(Ⅰ)…
底面： $\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}$
高さ： $\frac{1}{2}$
より、
体積： $\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{12}$

かけら(Ⅱ)…
(i)の三角錐が
底面： $\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$
高さ： $\frac{1}{2}$
より、
体積： $\frac{1}{8}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{48}$
(ii)の四面体が
底面： $\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{6}}{4}\times\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{8}$
高さ： $\frac{\sqrt{3}}{3}$
より、
体積： $\frac{\sqrt{3}}{8}\times\frac{\sqrt{3}}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{24}$
(i)＋(ii)＝ $\frac{1}{48}+\frac{1}{24}=\frac{1}{16}$

うーむ、言葉ではなかなか上手く説明できない…
図を描いてもイマイチ、イメージは掴みにくい。

でも多分こんなカンジだと思うんですが、どうでしょう？